已知数列{an}满足a1=1,an+a(n+1)=2n

求证：数列{a(2n)}与{a(2n-1)}均是以-2为公差的等差数列

a1=1,a2=1
a3=3,a4=3
a5=5,a6=5
a7=7,a8=7
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所以
an={n, (n为奇数时）
{n-1, (n为偶数时)

(1)2a(n+2)=an+a(n+1)；

∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]；

bn=a(n+1)-an；

∴2b(n+1)=-bn；

即b(n+1)/bn=-1/2；

∴{bn}是等比数列；

(2)b1=a2-a1=2-1=1；

∴{bn}是首项为1，公比为-1/2的等比数列；

∴bn=1×(-1/2)^(n-1)；

∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)；

∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)；

a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3)；

……

a2-a1=(-1/2)^0；

累加得：an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2)=[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]；

∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)×(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)×(-1/2)^(n-2)

a(2n)+a(2n+1)=2*(2n)=4n a(2n+1)+a(2n+2)=2*(2n+1)=4n+2 下式减上式得:a(2n+2)-a(2n)=2 即a2(n+1)-a(2n)=2 数列{a(2n)}是以2为公差的等差数列 同理a(2n-1)+a(2n)=2(2n-1)=4n-2 a(2n)+a(2n+1)=2(2n)=4n 下式减上式得a(2n+1)-a(2n-1)=2 即a[2(n+1)-1]-a(2n-1)=2 数列{a(2n-1)}是以2为公差的等差数列