y=sinx^2为什么不是周期函数

y=sinx^2为什么不是周期函数

^反证法：假设y的周期为t，则任取x，有
sin(x+t)^2=sinx^2
(x+t)^2=x^2+2kπ
2tx=2kπ-t^2，这里k为整数
这个式子左边随x连续变化，右边只取k为整数时的离散的值
所以左右不可能相等
所以假设错误，此函数不是周期函数

假设y=f(x)=sinx²是周期函数，周期为T，则有 f(x+T)=sin(x+T)²=f(x)=sinx²,对于x∈R的任意值均成立 令x=0 sinT²=sin0=0 ∴T²=kπ k≠0 T=√ f(x+√kπ)=sin(x²+2√kπ·x+kπ)=±sin(x²+2√kπ·x),显然不恒等于sin(x²)，与假设矛盾。 ∴y=sinx²不是周期函数

如果函数y=f(x)是周期为T≠0的函数，那么f(x+T)=f(x); 函数f(x)=sinx²不存在那样的T≠0，能使得sin(x+T)²=sin(x²+2Tx+T²)=sinx². 故y=sinx²不是周期函数。

假设f(x)是周期函数

不妨设f(x)的最小正周期为t(t>0),则对于任意的x都满足f(x+t)=f(x), 即(x+t)sin(x+t)=xsinx①

令x=0, 则tsint=0, ∴sint=0, t=kπ(k∈z)

代入①得 (x+kπ)sin(x+kπ)=xsinx

∴(x+kπ)(-sinx)=xsinx 对任意x都成立

∴x+kπ=-x, x=-kπ/2对任意x都成立

矛盾,假设不成立, 即f(x)不是周期函数