如何证明单调函数必有反函数

如何证明单调函数必有反函数

先说明反函数的条件由x1不等于x2可以推出 f（x1）不等于f（x2）
设一单调函数 由对称，可设为单增函数

对于任意 x1不等于x2，[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）>0
所以[f（x1）-f（x2）]不等于0
即f（x1）不等于f（x2）
因此命题得证

设原函数为y=f(x),x=f-1(y),假设它没有反函数，即f-1不是函数，所以存在不同的两点x1和x2,使得
f-1(y0)={x1、x2} 得 y0=f(x1)和y0=f(x2)
不妨设x1 f(x1)f(x2),即 y0y0,矛盾，证毕。
(顺便说明一下，这里的单调函数必定是严格单调函数，否则结论不成立)

单调函数，必然x和y一一对应，不可能出现一个y对应两个x的情况。
一一对应的函数，则必有反函数。