设f`(x)在(a,b)内连续，f(x)在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0且f(x)dx从a到b的积分=0,求证 在(a,b)内至...
答案:2 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-03-16 16:30
- 提问者网友：末路
- 2021-03-16 09:14
设f`(x)在(a,b)内连续，f(x)在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0且f(x)dx从a到b的积分=0,求证 在(a,b)内至少存在一点x1使得f``(x1)=f(x1),求帮忙，谢谢，急
最佳答案
- 五星知识达人网友：duile
- 2021-03-16 09:57
∵f(x)在[a,b]上连续且二阶可导,点M(c,f(c))在f(x)上，∴f(x)在[a,c]上连续，根据拉格朗日中值定理，在[a,c]存在一点p，使得f'(p)*(a-c)=f(a)-f(b);同理在[c,b]上存在一点q，使得f'(q)*(c-b)=f(c)-f(b);
又∵A、M、B在同一直线上，所以f'(p)=f'(q);
∵f'(x)在[p,q]，上连续，可导，根据拉格朗日中值定理，在[p,q]，之间存在一n，使得f''(n)*(p-q)=f'(p)-f'(q)＝0,
∵p－q≠0
∴f''(n)=0,(证毕）
％％本证明过程不是很规范，因为是在线回答，格式不能得到很好控制，但思路可以和大家分享
又∵A、M、B在同一直线上，所以f'(p)=f'(q);
∵f'(x)在[p,q]，上连续，可导，根据拉格朗日中值定理，在[p,q]，之间存在一n，使得f''(n)*(p-q)=f'(p)-f'(q)＝0,
∵p－q≠0
∴f''(n)=0,(证毕）
％％本证明过程不是很规范，因为是在线回答，格式不能得到很好控制，但思路可以和大家分享
全部回答
- 1楼网友：duile
- 2021-03-16 10:47
证明：显然f(x)不能恒等于0，因为f'+(a)>0
在[a,b]上取x0且f(x0)≠0
若f(x0)>0, 则在(x0,b)上由拉格朗日中值定理得，
存在 x0<ζ1
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