1*1*1=1,1*1*1+2*2*2=8,1*1*1+2*2*2+3*3*3=35,第n个等式是什么

1*1*1=1,1*1*1+2*2*2=8,1*1*1+2*2*2+3*3*3=35,第n个等式是什么

我们用a^2表示a*a*,a^3表示a*a*a

第n个等式是:

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
--------------证明:

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
-----

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

上面n个式相加,得:
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

------------证明中用到:1+2+3+......+n=n(n+1)/2,1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6