大二数学分析

大二数学分析

解：4题，原式=2∫(0,1)(1-x²)^ndx。设x=t^(1/2)，
∴原式=∫(0,1)t^(-1/2)(1-t)^ndt=B(1/2,n)=Γ(1/2)Γ(n)/Γ(n+1/2)。
5题，设x=t/(1-t)，∴原式=∫(0,1)[t^(1/4)](1-t)^(-1/4)dt=B(5/4,3/4)=Γ(5/4)Γ(3/4)/Γ(2)=(1/4)Γ(1/4)Γ(3/4)=(π/4)/sin(π/4)=(√2)π/4。
供参考。追问第一题可以算出具体答案吗？第二题我只能算到倒数第二步gamma1+4乘上gamma3/4,怎么算出最后结果追答不好意思，4题应是“B(1/2,n+1)=Γ(1/2)Γ(n+1)/Γ(n+1+1/2)”。
可以化简为2(2n-2)!!/(2n+1)!!。其中(2n-2)!!=(2n-2)(2n-4)……*2；(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)……*1。
5题，最后用的是余元公式，α=1/4。
供参考。追问可是gamma1/2不是√∏吗，应该有一个√∏的呀，为什么化简的最后是纯数字了呢？追答对Γ(n+1+1/2)，应用按递推式，有Γ(n+1+1/2)=(n+1/2)Γ(n+1/2)=(n+1/2)(n-1/2)Γ(n-1/2)=……=(n+1/2)(n-1/2)*……*1/2*Γ(1/2)。
故，Γ(1/2)约去了。供参考。追问谢谢你的回答，还有一个小问题，就是第五题gamma1/4乘上gamma3/4是怎么算出来结果的?追答前面回答了呀，用余元公式B(a，1-a)=丌/sin(a丌)即可。