怎么证明当x大于1时,e的x次方大于ex

怎么证明当x大于1时,e的x次方大于ex

方法一：

x＞1时，设f(t)＝e^t，t∈[1,x]

f(t)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(1,x)，使得f'(ξ)＝(e^x-e)/(x-1)

f'(t)＝e^t，所以(e^x-e)/(x-1)＝e^ξ

ξ＞1，所以(e^x-e)/(x-1)＞e，此即e^x＞ex

方法二：

设f(x)＝e^x-ex，x∈[1,+∞)

f(x)在[1,+∞)上连续，在(1,+∞)内可导，且f'(x)＝e^x－e＞0，所以f(x)在[1,+∞)上单调增加，所以x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，所以e^x＞ex

付值,用数学归纳法证

设f(x)=x-2lnx f'(x)=1-2/x f'(2)=0, f'(x)<0,(x∈(0,2) f'(x)>0,(x∈(2,∞) 即 min{f(x)}=f(2)=2-2ln2>0 所以x>2lnx,即e^x>x^2