50个互不相同的非零自然数的和为101101，那么它们的最大公约数的最大值是多少？

50个互不相同的非零自然数的和为101101，那么它们的最大公约数的最大值是多少？

101101=7×11×13×101，设这50个互不相同的非零自然数的最大公约数为p，50个数同时除以p之后，得到的50个新数仍然互不相同，其和为101101÷p。欲使p最大，应使剩下50个新数的和最小。
50个互不相同的非零自然数之和理论上最小值为1+2+•••+49=25×49=1225。
剩下的工作就是在7、11、13、101这四个素因子中找出一部分因子，使其乘积超过1225且尽量最小，以作为新的50个数之和；留下因子的乘积就是所要求的最大公约数的最大值了。
因为7×11×13=1001＜1225，所以必须把101这个最大的因子请出来。取101和7，101×7=707＜1225，不行。再取101和11，101×11=1111＜1225，还不行。再取101和13，101×13=1313＞1225，行了。
于是它们的最大公约数的最大值是7×11=77。

设50个互不相同的非零自然数为ａ１，ａ２，…，ａ５０，最大公约数为ｄ，并令： ａ１＋ａ¬２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ５０′） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ps：<ａ数字′ >是对应对应非零自然数与最大公约数为ｄ得倍数关系。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 则ａ１＋ａ¬２＋…＋ａ５０＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′５０）＝１０１１０１＝７７×１３１３，故知ａ１′，ａ２′，···，ａ′５０不可能都是１.而且因为互不相同。 从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′５０≥（１+５０）*５０/２＝１２７５<１３１３，那么此时符合ｄ≤７７。 至于那个成立条件只需要将那个和从１２７５调到１３１３就可以了。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｐｓ：那个ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′５０起码就是１到５０的公差为１的等差数列，他们的和起码是１２７５.大于或者等于这个。所以那个１０１１０１因式分解时才分解一个比较大的１３１３. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 所以它们最大公约数是７７. 这种问题一通百通的。= =!···应该帮到了。呵·~(其实１０１１０１还可以分解其它的。但是选择是关键的一点。)