立体几何排列组合问题

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是             。

就四棱锥P—ABCD而言，显然顶点P的颜色必定不同于A、B、C、D四点，于是分三种情况考虑：

①     若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：（种）

②     若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为： （种）

③     若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为： （种）

故不同染色方法种数是：420种。