设f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0,f'(0)不等于0又F(x)在点x=0处亦可导。证明F[f(x)]在点x=0处可导

设f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0,f'(0)不等于0又F(x)在点x=0处亦可导。证明F[f(x)]在点x=0处可导

F(x)在点x=0处可导，即当x→0时，lim(F(x)-F(0))/x 存在
由于f(x)在点x=0处可导，必定在x=0处连续，当x→0时，limf(x)=f(0）=0
当x→0时：lim(F[f(x)]-F[f(0)])/x=lim{(F[f(x)]-F[f(0)])/f(x)}{[f(x)-f(0)}/x=F'(0)f'(0)

证明：（F（f(t)）-F（0））/t=（（F（f(t)）-F（0））/f（t））*（f(t)/t）①,由于f在0可导，故在0连续。又由于f'(0)≠0，即lim（t趋于0）f（t）/t≠0，设它=a，则存在0的某个去心邻域U（0，δ），使得其中任意t，有|f（t）/t-a|＜a/2，可得出f（t）/t在此邻域恒不为0，f（t）恒不为0。又f在0连续，故①式t趋于0可取极限为（设f（t）=s）：lim（s趋于0）（F（s）-F（0））/s乘以lim（t趋于0）f(t)/t=F‘（0）f’（0），即F[f(x)]在0可导. f‘（0)≠0很重要啊，它保证求极限时分母不为0，你看我的回答了吗······

因为 f'(0)≠0, 所以存在a>0, 使得 如果 0<|x|0时， f(x) -->0. 于是： lim(x-->0) (f[f(x)]-f[f(0)])/x= lim(x-->0)(f[f(x)]-f[f(0)])/(f(x)-f(0)) * (f(x)-f(0))/x =lim(f(x)-->0)(f[f(x)]-f[0])/(f(x)-0) * lim(x-->0)(f(x)-f(0))/x =f'(0)*f'(0) 所以极限存在，即导数存在。