如图,P是线段AB上的一点,以AP为边做一正方形APMN,以BP为底在另一侧做等腰△BPQ,连

如图,P是线段AB上的一点,以AP为边做一正方形APMN,以BP为底在另一侧做等腰△BPQ,连

此题为二次函数最值问题
根据题意画图：
解：延长MP，作QG垂直于延长线于G
求阴影部分的面积，我选MP为底，QG为高
易得MP=AP,QG=(1/2)PB
设AP=x，则PB=4-x,QG=(4-x)/2
所以△MPQ的面积为：S=MP·QG/2=x(4-x)/4
整理得S=(-1/4)x^2+x  （其中x^2,表示x的平方）
此二次函数图象开口向下，函数有最大值
所以当x=2时（公式x=-b/2a），S有最大值1
[将x=2代入S=(-1/4)x^2+x，得S=1]
所以△MPQ的最大面积为1 
注意：在点P不动的情况下，点Q的上下移动根本不会影响△MPQ的面积

分析：设AP=x，则BP=4-x，MP=AP=x，Q点到MP的距离等于B点到MP的距离的一半，列出面积的表达式根据配方法即可求解．
解答：解：设AP=x，则BP=4-x，MP=AP=x，Q点到MP的距离等于B点到MP的距离的一半．
∵S△MPQ=12x•4-x2=14(4x-x2)=14[4(x-2)2]≤1．
∴当x=2时，S△MPQ=1为最大值．
故答案为：1．
点评：本题考查了二次函数的最值及等腰三角形的性质，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数的最值．

写甘长都系错，呵呵（盗用第一个回答的图）
面积为4
这条问题有3种情况，前两种就系第一个回答的方法PB＝PM，PM＝PQ
第三种就系PB＝QB
这样面积就系y＝（根号2）（4－x）x（2分之根号2）
＝（4－x）x
＝ －（x－2）^2＋4（其中x^2,表示x的平方）
那么最大为4