高等数学目录

1. 在中学已有的函数基础上,加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)的了解.
2. 理解复合函数的概念,了解反函数的概念.
3. 会建立简单实际问题的函数关系式.
4. 理解极限的概念,了解极限 定义(不要求学生做给出 求 或 的习题)
5. 掌握极限的有理运算法则,会用变量代换求某些简单复合函数的极限.
6. 了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在原则(夹逼原则与单调有界准则).会用连个重要极限 与 求极限.
7. 了解无穷小无穷大高阶无穷小和等阶无穷小的概念,会用等阶无穷小求极限.
8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念.
9. 了解函数间断的概念,会判断间断点的类型.
10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理.
(二) 一元函数微积分学及其应用

1. 理解导数的概念及几何意义(不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题).了解函数的可导性与连续性之间的关系.
2. 了解导数最为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中的一些量的变化率.
3. 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法、掌握基本初等函数的导数公式.
4. 理解微分的概念,了解微分概念中包含的局部线性化思想,了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性.
5. 了解高阶导数的概念.掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法(不要求学生求函数的n阶导数的一般表达式).
6. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数及这两类函数中比较简单的二阶导数.会解一些简单实际问题中的相关变化率问题.
7. 理解罗尔定理和拉格朗日定理.了解柯西定理(对三个定理的分析证明不要求,并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧).会用洛比达法则求不等式的极限.
8. 了解泰勒定理以及用多项式逼近函数的思想(对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不要求).
9. 理解函数的极值概念.掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.会求解较简单的最大值与最小值得应用问题.
10. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点.会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线).
11. 了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.
12. 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想.

(三) 一元函数积分法以及应用

1. 理解定积分的概念和几何意义(对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求),了解定积分的性质和积分中值定理.
2. 理解原函数与不定积分的概念,理解变上限的积分作为其上限的函数记忆求导定理,掌握牛顿-来不尼兹公式.
3. 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分步积分法(淡化特殊积分技巧的训练,对于有理函数积分的一般方法不作要求,对于一些简单有理函数、三角函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练).
4. 掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法(微元法),会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式.
5. 了解两类反常积分及其收敛性的概念.
6. 了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)的思想.

(四) 多元函数微积分学及其应用

1. 理解二元函数的概念,了解多远函数的概念.
2. 了解二元函数偏导数的极限与连续性的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质.
3. 理解二元函数偏导数与全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件.
4. 了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法.
5. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法.
6. 掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数(对于抽象复合函数的二阶导数,只要求作简单训练).
7. 会求隐函数(包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数(对求二阶偏导数不作要求).
8. 了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面和法线,并会求它们的方程.
9. 理解二元函数极值与条件极值的概念,会求二元函数的极值,了解求条件极值得拉格朗日乘数法,会求一些比较简单的最大值与最小值的应用问题.

(五) 多元函数积分学及其应用

1. 理解二重积分的概念,了解三重积分的概念,了解重积分的性质.
2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
3. 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系,会计算两类曲线积分(对于空间曲线的计算只作简单练习).
4. 掌握Green公式,会使用平面线积分与路径无关的条件,了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义.
5. 了解两类曲面积分的概念及其计算方法.
6. 了解Gauss公式,Stokes公式(Stokes公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求).
7. 了解场的基本概念,了解散度、旋度的概念和某些特殊场(无源场、无旋场和调和场),会计算散度与旋度.
8. 了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法(微元法),会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式.

(六) 无穷级数

1. 理解无穷级数收敛、发散及和地概念,了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.
2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-阶级数的收敛性,掌握正项级数批值审敛法`
3. 了解交错级数的莱不尼兹定理,会估计交错级数的截断误差.了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系.
4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念,掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求).了解幂级数在其收敛区间的一些基本性质(对求幂级数的和函数只要求作简单练习).+
5. 会利用 的马克劳林展开式将一些简单的函数展开成幂级数.
6. 了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想.
7. 了解用三角函数逼近周期函数的思想,了解函数展开为傅立叶级数的狄利克雷条件,会将定义在 和 上的函数展开为傅立叶级数,会将定义在 上的函数展开为傅立叶正弦或余弦级数.

(七) 常微分方程
1. 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念.
2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法.
3. 会解齐次方程,会从中领会用变量求解微分方程的思想.
4. 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程.
5. 理解二阶线性微分方程解的结构.
6. 掌握二阶常微分方程齐次线性微分方程的解法,了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法.
7. 会求自由项形如 , 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,其中 为实系数n次多项式, 为实数.
8. 会通过建立微分方程模型,解决一些简单的实际问题.