解答题已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a

解答题 已知函数f（x）=xlnx．
（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；
（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

解：（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
则g′（x）=lnx+1-a，
由g′（x）＜0，得lnx+1-a＜0，解得：0＜x＜ea-1；
由g′（x）＞0，得lnx+1-a＞0，解得：x＞ea-1．
所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，+∞）上单调递增．
（2）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1．
所以切线l的方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），
又切线l过点（0，-1），所以有-1-x0lnx0=（lnx0+1）（0-x0），
即-1-x0lnx0=-x0lnx0-x0，
解得x0=1，y0=0，
所以直线l的方程为y=x-1．解析分析：（1）把函数f（x）=xlnx代入g（x）=f（x）-a（x-1），求导后利用导函数的正负求解函数g（x）的单调区间；（2）设出切点，求出函数在切点处的导数，利用直线方程的点斜式写出直线方程，把点（0，-1）代入求切点的横坐标，则切线方程可求．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数导函数的符号和函数单调性之间的关系，考查了曲线上某点处切线方程的求法，解答此类问题时要注意题目的问法，是在某点处的切线方程还是过某点处的切线方程，以免解答出错，此题是中档题．

我学会了