勒贝格测度的性质

勒贝格测度的性质

R上的勒贝格测度有如下的性质
如果A表示的是区间I1 ×I2 × ... ×In的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 其中 |I| 表示区间I的长度。 如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。 如果A勒贝格可测的，那么它的补集（相对于R）也是可测的。 对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。 如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。) 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。 如果A是一个开集或闭集，且是R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。 如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 ，则A的任何一个子集B的勒贝格测度λ(B)=0。 如果A是勒贝格可测的，x是R中的一个元素，A关于x的平移（定义为A+x= {a+x:a∈A}）也是勒贝格可测的，并且测度等于A. 如果A是勒贝格可测的，δ > 0，则A关于δ的扩张（定义为）也是勒贝格可测的，其测度为。 更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个R的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为。 如果A是R的勒贝格可测子集，f是一个A到R上的连续单射函数，则f(A)也是勒贝格可测的。
简要地说，R的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足的测度。
勒贝格测度是σ有限测度。