中国体育彩票中的数学问题

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标题：彩票选号

内容：概率统计的应用十分广泛,它几乎遍及所有学科领域.买彩票中奖机会的大小 就是一个典型的概率统计问题,无论是福利彩票还是体育彩票,开奖结果中的数字都是随机产生的,每次随机确定一个数字(一次试验)其结果具有一定的偶然性,不过在大量重复试验中,中奖号码会呈现出某些必然规律.针对彩票奖号可重复出现数字情况,用概率统计方法分析中奖号码规律.


应用背景：

彩票开奖结果中的数字都是随机产生的,其每次结果具有一定的偶然性,但是在大量重复的开奖结果中,中奖号码会呈现出某些必然规律. 用概率统计方法对彩票奖号情况分析其规律.


涉及知识点：

知识点一：古典概率
知识点二：大数定律
知识点三：中心极限定理

解题方法：

利用古典概率,大数定律,中心极限定理等结果分析彩票选号问题中的一些规律,从而导出一些指导性的策略.

解题过程：

第一步：
1. 奖号中有重复数字的概率
目前全国大多数地区体育彩票中奖号码是从0~9这十个数字中,可重复抽取七个数字依次排列组成. 对于这种确定中奖号码的方式 可计算有重复数字的概率. 由古典概率计算方法, 中奖号码中七个数字全部不同的概率为

那么, 七个数字中至少有两个数字相同的概率为


策略一: 每注彩票七个数字中至少有两个相同.

第二步：
利用大数定律确定各选取数字.
大数定律：设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数.p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意给定的正数ε＞0， 有
.
这个定律说明：当重复试验很多次时，随机事件A发生的频率在它的概率附近摆动，若频率偏离概率，只要继续试验下去，频率就有向概率靠近的趋势.


第三步：
统计连续n期中奖号码,第i位上0~9各数字出现的次数，依次记为 .把较小的k个数之和记为 ，即 是出现次数较少的k个数字一共出现的次数.它们出现的频率为 ，对应的概率大约为k/10，则

一般偏大，由大数定律，第n+1期中奖号码第i 位上频率 应有向概率k/10靠近的趋势，因而第i 位上出现这k个数字之一的概率非常大.在第n+1期投注时，第i位（i=1,2,…,7）应首先考虑从这k个数字中挑选.



第四步：
理论上讲，彩票投注范围共有107 个不同号码，如果依上述方法，每个位置上确定k=5个备选数字，备选号码范围就缩小到57=78 125个不同号码.当然，可能第n+1期中奖号码的第i 位上没有出现备选取的5 个数字，由大数定律，往后的中奖号在第i 位上出现这5个数字之一的可能性更大（i=1,2,…,7）.
策略二：前n期中奖号在第i 位（i=1,2,…,7）上出现较少的数字，作为第n+1期第i 位上的备选数字.



第五步：
利用中心极限定理确定投注号码数字和的范围.
中心极限定理：设随机变量 ，相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差: , ，（k=1,2,…,7）则当m充分大时，近似有
，
由标准正态分布密度函数的特征，易见中心极限定理的直观意义：当m充分大时，随机变量 在其数学期望mμ附近取值的概率较大.


第六步：
统计湖北省体育彩票中奖号数据（不包括2000年第46期以前的特别号码），得到各数字出现的次数和频率.除数字9外，各数字出现的频率有向0.1靠近的趋势，为方便起见，不防设0~9各数字出现的概率均0.1.记随机变量 为第k 次确定的数字，易见 相互独立，服从同一分布， 的数学期望和方差为
. （1）

第七步:
记 表示连续n期中奖号各位数字总和，由（1）式及独立性，可得

根据中心极限定理，当n充分大时，近似有:

那么，X7n的保证概率为68.26%的估计区间是
. (2)

第八步:
当n=1时，（2）式约为 [24, 39]. 若X7n的观察值靠近或大于（2）式的上限，则由中心极限定理X7(n+1)有靠近其数学期望31.5(n+1)的趋势，那么,第n+1期的七个数字之和的估计区间的上、下限，应该分别小于区间[24, 39]的上、下限； 若X7n的观察值靠近或小于（2）式的下限，则相反.
策略三：若连续n期中奖号的7n个数字之和X7n靠近（2）式的上（或下）限，就适当下（或上）调区间[24, 39]的上、下限，所得区间作为第n+1期投注号码的七个数字之和的范围.
参考文献：吕盛鸽，概率统计在彩票选号中的应用，统计与决策2001.8
进一步问题：
试用概率统计方法计算”乐透”型彩票各奖项的中奖概率.

我算过数列的问题，而且建立出数学模型，不知道你们有没有学到数列了