若方程x^2+2ax+b^2=0与x^2+2cx+b^2=0有一个相同的根，且a、b、c为正数，求证：a、b、c为直角三角形的三边
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解决时间 2021-04-29 09:09
- 提问者网友：兔牙战士
- 2021-04-29 05:34
若方程x^2+2ax+b^2=0与x^2+2cx+b^2=0有一个相同的根，且a、b、c为正数，求证：a、b、c为直角三角形的三边
最佳答案
- 五星知识达人网友：英雄的欲望
- 2021-04-29 05:50
设m是两方程的公共根
则m^2+2am+b^2=0
m^2+2cm-b^2=0
两式相加得
2m^2+2am+2cm=0
2m(m+a+c)=0
所以m=0或m+a+c=0
若m=0，带回得b^2=0 b=0（不符合题意，三角形三边长围正数）
所以m+a+c=0 即m=-a-c
带回得(-a-c)^2+2a(-a-c)+b^2=0
整理得c^2+b^2-a^2=0
所以充要条件为三角形ABC为直角三角形，且A=90°
则m^2+2am+b^2=0
m^2+2cm-b^2=0
两式相加得
2m^2+2am+2cm=0
2m(m+a+c)=0
所以m=0或m+a+c=0
若m=0，带回得b^2=0 b=0（不符合题意，三角形三边长围正数）
所以m+a+c=0 即m=-a-c
带回得(-a-c)^2+2a(-a-c)+b^2=0
整理得c^2+b^2-a^2=0
所以充要条件为三角形ABC为直角三角形，且A=90°
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