非负实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2+abc=4。求证：0≤ab+bc+ca-abc≤2
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解决时间 2021-05-06 22:11
- 提问者网友：抽煙菂渘情少年
- 2021-05-06 03:22
非负实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2+abc=4。求证：0≤ab+bc+ca-abc≤2
最佳答案
- 五星知识达人网友：独钓一江月
- 2021-05-06 04:04
因为 a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca (排序不等式)
又因为 abc>=0
所以 ab+bc+ca-abc<=a^2+b^2+c^2+abc<=2
3/(1/a+1/b+1/c)<=√((a^2+b^2+c^2)/3) (基本不等式)
所以 1/a+1/b+1/c>=(3√3)/(√(a^2+b^2+c^2))>=>=(3√3)/(√2)>1=
所以 (ab+bc+ca)/abc>=1
即ab+bc+ca>=abc
也即ab+bc+ca-abc>=0
又因为 abc>=0
所以 ab+bc+ca-abc<=a^2+b^2+c^2+abc<=2
3/(1/a+1/b+1/c)<=√((a^2+b^2+c^2)/3) (基本不等式)
所以 1/a+1/b+1/c>=(3√3)/(√(a^2+b^2+c^2))>=>=(3√3)/(√2)>1=
所以 (ab+bc+ca)/abc>=1
即ab+bc+ca>=abc
也即ab+bc+ca-abc>=0
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