证明2分之a的n次方加b的n次方大于等于2分之a+b的n次方

证明2分之a的n次方加b的n次方大于等于2分之a+b的n次方

首先应确定a>0,b>0,n>=2,n为整数
(a^n+b^n)/2>((a+b)/2)^n
本题可采学归纳法
当n=1时，不等式成立。
当n=k时，(a^k+b^k)/2>=[(a+b)/2]^k ,不等式成立。
两边同时乘以（a+b/2)
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>=（[(a+b/2)]^（k+1）
[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2 >=[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立。
以此类推，对任意n不等式都成立。

证明 因为 a>0,b>0, 当n=2时 （根号a+根号b）²=a+b+2根号ab>a+b 当n大于2时 设a的n次方根为c，b的n次方根为d 则有 （c+d）的n次方=c^n+c(n,1)c^(n-1)d+c(n,2)c^(n-2)d^2+c(n,3)c^(n-3)d^3+……+c(n,n-2)c^2d^(n-2)+c(n,n-1)cd^(n-1)+d^n 且a>0,b>0，所以c>0,d>0 则有c(n,1)c^(n-1)d+c(n,2)c^(n-2)d^2+c(n,3)c^(n-3)d^3+……+c(n,n-2)c^2d^(n-2)+c(n,n-1)cd^(n-1)>0 那么（c+d）的n次方>c的n次方+b的n次方 即a的n次方根+b的n次方根>（a+b）的n次方根