已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx.

已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx. (I)若f'(1)=-1/2a,3a>2c>2b,试问：导函数f'(x)在区间(0,2)内是否有零点，并说明理由。
(II)在上面条件下，若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于根号3,求b/a的取值范围

1,因f'（x）=ax2+bx+c,f′(1)=-1/2a,
所以 a+b+c=-1/2a,3a+2b+2c=0．
因3a＞2c＞2b，
所以3a＞0，2b＜0，a＞0，b＜0．
f′(1)=-1/2a＜0，因为 f′(0)=c＞0，,f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
(1)当c＞0时,f′(0)=c＞0，f′(1)=-1/2a＜0
f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点
(2)当c≤0时,f′(0)=c＞0,f′(2)=a-c＞0
f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
所以导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
2,设m，n是导函数f'（x）=ax2+bx+c的两个零点m+n=-b/a,mn=c/a= -3/2-b/a
|m-n|=√[(m+n)^2-4mn]=√[(b/a+2)^2+2]
又由已知得:√[(b/a+2)^2+2]>√3
(b/a+2)^2+2>3,(b/a+2)^2>1解得
b/a≥-1或b/a≤-3
又因,2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b
所以，3a＞-3a-2b＞2b,则有,-3a＜b＜-3/4a
因a＞0,所以,-3＜b/a＜-3/4
综上所述,b/a的取值范围是[-1，-3/4)

解：f(x)=x（a/3x^2+b/2x+c) 因为有3个零点 又因为x1x2=-9 所以x1=0 所以x2+x3=-3 根据韦达定理 x1加x2等于-（1/2）除以a/3 x1x2=c除以a/3 所以a=1/2 c=-54 接下来就用导数求就可以了

令g(x)=f'(x)=ax^2+bx+c g(1)=a+b+c = -1/2a 所以 3a + 2b + 2c = 0 由于 3a>2c>2b 所以 3a >0 ， 2b < 0 即a>0，b<0 所以g（x）图像开口向上，g（1）<0 假设(0,2)内有零点，那么一定有g(2)>0或者 g(0) > 0 所以问题转化为判断g（2）、g（0）的正负。 g(0)= c ，分两种情况， 1、假如c>0 则有零点。 2、假如c≤0，则判断g（2） g(2)= 4a+2b+c ，将2b= -（3a + 2c ） 代入，得到 g(2)= 4a - 3a - 2c + c = a -c >0 所以当 c≤0时，g（2）>0 所以g（0）和g（2）至少有1个大于0，所以导函数f'(x)在区间(0,2)内必有零点。