若存在过点（1，0）的直线与曲线Y=X^3和Y=aX^2+15/4X-9都相切，求a的值

若存在过点（1，0）的直线与曲线Y=X^3和Y=aX^2+15/4X-9都相切，求a的值

y=x^3导数为y=3x^2,直线与其切点为（m，m^3）
则直线过（m，m^3），(1,0)
求得直线为y=0或者y=27/4*(x-1)

若y=0.则y=ax^2+15/4x-9顶点在x轴
得a=-25/64

若y=27/4*(x-1)，斜率为27/4
y=ax^2+15/4x-9导数为y=2ax+15/4，
直线与其切点为（n，an^2+15/4n-9）
2an+15/4=27/4
n=3/(2a)
直线过（3/2，27/8），(1,0) (3/(2a),(63-72a)/8a)
推出a=-1
所以a=-25/64或者a=-1

这个是过程：
设过点（1,0）点的直线与Y=X^3切点为（a，b），则对Y=X^3求导可得：
Y.=3X.^2 将点（a，b）带入可得b=3a^2。

则直线的斜率为3a^2，设直线方程Y-b=3a^2(X-a);
又直线过点（1,0） 带入可得：-b=3a^2（1-a）
点（a，b）带入Y=X^3得：b=a^3
解方程可得a=3/2，b=27/8；
由此直线的斜率为：K=27/4,直线方程为：Y=27/4（X-1）；
又它与Y=aX^2+15/4X-9相切，则他们只有一个交点，
两方程连立求解得：
aX^2+15/4X-9=27/4（x-1）

aX^2-3X-9/4=0
可得：△=b^2-4ac=0
9+9a=0 ; a=-1。
希望可以帮到你！！