数列an，a1=5，a2=2.an=2a（n-1）+3a（n-2) 且n大于等于3，求通项公式！

数列an，a1=5，a2=2.an=2a（n-1）+3a（n-2) 且n大于等于3，求通项公式！

这种形式的递推公式有一定的解题方法。
把原式变形为下面形式
An+xA(n-1)=(x+2)A(n-1)+3A(n-2)
x需满足条件1/x=(x+2)/3
解得x=1、x=-3分别带入上式

An+A(n-1)=3A(n-1)+3A(n-2)=3[A(n-1)+A(n-2)]
A2+A1=5+2=7
数列{A(n+1)+An}是以7为首项，3为公比的等比数列
A(n+1)+An=7×3^(n-1)

An-3A(n-1)=-A(n-1)+3A(n-2)=-[A(n-1)-A(n-2)]
A2-3A1=5-3×2=-1
数列{An-3A(n-1)}是以-1为首项，-1为公比的等比数列
A(n+1)-3An=(-1)^n

两式联立，求得
An=7/12×3^n-1/4×(-1)^n

an+a(n-1)=3[a(n-1)+a(n-2)] 令b(n-2)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)

则b(n-1)=3b(n-2)为等比数列

bn=3^(n-1)×b1, b1=a1+a2=7

bn=3^(n-1)×7 b(n-1)=3^(n-2)×7=an+a(n-1) an-3^(n-2)×21/4=-[a(n-1)-3^(n-3)×21/4]

令cn=an-3^(n-2)×21/4 a3=2×2+3×5=19 c3=13/4

cn=(-1)^(n-3)×c3=(-1)^(n-3)×13/4

an=3^(n-2)×21/4-(-1)^(n-2)×13/4 (n>=3)

把n=1,n=2代入，验算出a1=5,a2=2

故整合。an=3^(n-2)×21/4-(-1)^(n-2)×13/4 任意n满足。

解: an=2a（n-1）+3a（n-2)

两边都加上 a(n-1)

得 an+a(n-1) =3[a(n-1) +a(n-2)]

所以[ an+a(n-1) ]/[a(n-1) +a(n-2)] =3

即{an+a(n-1)}是等比数列 且公比q=3

首项 a2+a1 =2+5=7

所以 an+a(n-1) = [a2+a1]*q^(n-2)=7*3^(n-2) ①

再看原式 两边同减去 3a(n-1)得

an-3a(n-1)=-[a(n-1)-3a(n-2)]

所以 [an-3a(n-1)]/[a(n-1)-3a(n-2)]=-1

因此{an-3a(n-1)}也是等比数列 公比是-1

a2-3a1=-13

所以 an-3a(n-1)=[a2-3a1]*(-1)^(n-2) =-13*（-1)^(n-2)②

由①②得

an=[7*3^(n-1) -13*(-1)^(n-2)]/4