已知0<X1<Y1，Xn+1=根号XnYn，Yn+1=(Xn+Yn)/2，证明：数列{Xn}和{Y
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解决时间 2021-03-28 17:26
- 提问者网友：你给我的爱
- 2021-03-28 01:45
已知0<X1<Y1，Xn+1=根号XnYn，Yn+1=(Xn+Yn)/2，证明：数列{Xn}和{Y
最佳答案
- 五星知识达人网友：笑迎怀羞
- 2021-03-28 02:18
x(n+1)=√(xnyn)＜(xn+yn)/2=y(n+1)
于是0＜xn＜yn恒成立
y(n+1)=(xn+yn)/2＜(yn+yn)/2=yn
于是yn单调减，而yn＞0，于是单调减且有下界
于是limyn存在
令limyn=A＞0
因为xn＜yn，于是xn＜A
x(n+1)=√(xnyn)＞√(xnxn)=xn
于是xn单调增，而xn＜A，于是xn单调增有上界
于是limxn存在
令limxn=B
则limx(n+1)=√(AB)=B＞0
得A=B
即limxn=limyn
………………………………
若对xn＜A有疑惑可以进一步放大
xn＜yn＜y1
得xn有上界
于是0＜xn＜yn恒成立
y(n+1)=(xn+yn)/2＜(yn+yn)/2=yn
于是yn单调减，而yn＞0，于是单调减且有下界
于是limyn存在
令limyn=A＞0
因为xn＜yn，于是xn＜A
x(n+1)=√(xnyn)＞√(xnxn)=xn
于是xn单调增，而xn＜A，于是xn单调增有上界
于是limxn存在
令limxn=B
则limx(n+1)=√(AB)=B＞0
得A=B
即limxn=limyn
………………………………
若对xn＜A有疑惑可以进一步放大
xn＜yn＜y1
得xn有上界
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