已知椭圆x^2／a^2+y^2／b^2=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，当椭圆上存在...

已知椭圆x^2／a^2+y^2／b^2=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，当椭圆上存在点P使三角形pF1F2的三边构成等差数列求离心率的范围

根据对称性可知这样的P如果存在于某一象限内，那么四个象限肯定都有
不妨假设P点在第二象限，即|PF1|＜|PF2|
∵|PF1|+|PF2|=2a，设|PF1|=m，P(x，y)，-a＜x＜0
∴|PF2|=2a-m
∴m＜2a-m，即m＜a
根据焦半径公式|PF1|=m=a+ex
①△PF1F2中，|F1F2|=2c为最大边
则|F1F2|+|PF1|=2|PF2|
即2c+m=2(2a-m)
得4a-2c=3m=3(a+ex)
x=(a-2c)/(3e)
∵-a＜x＜0
∴-a＜(a-2c)/(3e)＜0
解得1/2＜e＜1
②△PF1F2中，|F1F2|=2c为最小边
则|F1F2|+|PF2|=2|PF1|
即2c+2a-m=2m
2c+2a=3m=3(a+ex)
x=(2c-a)/(3e)
∵-a＜x＜0
∴-a＜(2c-a)/(3e)＜0
解得1/5＜e＜1/2
③△PF1F2中，|F1F2|=2c为中间(不是最大边，也不是最小边)
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
又|PF1|+|PF2|=2a
∴2a=4c
即e=1/2 (此时△PF1F2为等边三角形)

综上1/5＜e＜1

a(0，b)，f2(c，0)，f1(-c，0)，设b(x，y)， 则 af2=(c，-b)，f2b=(x-c，y)， 由af2=2f2b得 c=2(x-c)，-b=2y， 所以b(3c/2，-b/2) 代入椭圆方程可得 9c^2/(4a^2)+b^2/(4b^2)=1 （1） 又af1*ab=(-c，-b)*(3c/2，-3b/2)=-3c^2/2+3b^2/2=3/2 (2) 所以，由（1）（2）及 a^2=b^2+c^2可解得 a^2=3，b^2=2，c^2=1， 因此，椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1.