AB是⊙O的直径，CD半圆相切于P,AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，且AC=b,BD=c，CD=a，求证CP,DP的长为方程x2-ax+bc=0的根

AB是⊙O的直径，CD半圆相切于P,AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，且AC=b,BD=c，CD=a，求证CP,DP的长为方程x2-ax+bc=0的根

首先连接AP BP

先证明△PAC和△BDP相似（这个很简单 因为三个角都相等）

然后得出CP*DP=CA*BD

设BD和半圆的交点为E

连接AE 则角AEB为90°

CD//AE CD=AE

CP+DP=CD=AE=a

利用伟达定理

CP+DP=a（上面已证明了） CP*DP=bc（第一步也证明了）

所以结论是对的 呵呵懂了么

设BD与半圆交于E点, 则<ADB=90° (直径所对的圆周角是直角) 所以AE平行于CD

角CPA=角PAE (内错角相等)

角PAE=角PBE=角PBD (同弧所对圆周角相等)

所以 角CPA=角PBD 又因三角形ＰＣＡ与三角形ＢＤＰ都是直角三角形

所以　三角形ＰＣＡ与三角形ＢＤＰ相似　　　　　（２个内角对应相等）

所以　　　ＤＰ／ＢＤ＝ＡＣ／ＣＰ　　　　　　　ＤＰ＊ＣＰ＝ＡＣ＊ＢＤ＝ｂｃ

又因为　　ＣＰ＋ＤＰ＝ＣＤ＝ａ

根据韦达定理:一元二次方程的2个根直和的相反数等于方程一次项系数,2跟之积是方程常数

ＣＰ，ＤＰ　长度值是方程x²-ax+bc=0 两个根.