已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)
(1)求f(1)的值
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)<2
高一数学抽象函数的习题
答案:5 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-03-15 23:39
- 提问者网友:書生途
- 2021-03-15 09:15
最佳答案
- 五星知识达人网友:一秋
- 2021-03-15 10:24
由定义域知x>0
f(x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在(0,+∞)上的增函数,则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6)<f(6/x)
则0<(x+3)/6<6/x
解得0<x<(3根号17 -3)/2
f(x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在(0,+∞)上的增函数,则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6)<f(6/x)
则0<(x+3)/6<6/x
解得0<x<(3根号17 -3)/2
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- 1楼网友:深街酒徒
- 2021-03-15 14:20
由已知f(xy)=f(x)+f(y) 若取x=y=1 可得f(x)=1 记为一式
由上一行的已知 不等式左边化为f(x(x-3)) 由f(1/2)=1 得 -2=-f(1/4)
不等式化成 f(x(x-3)>=-f(1/4) 移项再由第一行的已知得 f[x(x-3)/4]≥0 由题目得 该函数在定义域是减函数
由一式得 x(x-3)/4≤1 剩下的自己解决 估计你能行 加油
- 2楼网友:胯下狙击手
- 2021-03-15 12:46
(1)设x=y,则f(1)=0
(2)有题意可知
f(1/x)=f(1)-f(x),代入原不等式得
f(x+3)+f(x)<f(6)+f(6)
又因f(x)在(0,+∞)上为增函数,故
(x+3)/6<6/x
解得0<x<(-3+sqrt(153))/2
- 3楼网友:撞了怀
- 2021-03-15 12:39
f(x/y)=f(x)-f(y)
f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0
f(6)=1
f(x+3)-f(1/x)<2
f((x+3)/(1/x))<2
f(x(x+3))<2
f(x(x+3))<2f(6)
f(x(x+3))-f(6)<f(6)
f(x(x+3)/6)<f(6)
x(x+3)/6<6
x^2+3x-36<0
(-3-3根号17)/2<x<(-3+3根号17)/2
因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
所以不等式的解为
0<x<(-3+3根号17)/2
- 4楼网友:醉吻情书
- 2021-03-15 11:40
解:(1)令x=2 y=1得f(2)=f(2)-f(1)
则f(1)=0
(2)因为f(x)在定义(0,+∞)是增函数
所以f(x-3)-2<f(1/x)
因为f(6)=1所以2=2f(6)
所以f(x-3)-f(6)-f(6)=f((x-3)/6)-f(6)=f((x-3)/36)<f(1/x)
因为f(x)在定义(0,+∞)是增函数
所以f(6)=1
f(x+3)-f(1/x)<2
f((x+3)/(1/x))<2
f(x(x+3))<2
f(x(x+3))<2f(6)
f(x(x+3))-f(6)<f(6)
f(x(x+3)/6)<f(6)
x(x+3)/6<6
x^2+3x-36<0
(-3-3根号17)/2<x<(-3+3根号17)/2
因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
所以不等式的解为
0<x<(-3+3根号17)/2
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