△ABC中，∠ABC=45°，BC=a ，BD是角平分线，点M、N分别是线段BD、BC上的动点， 求 (CM+M N)^2的最小

△ABC中，∠ABC=45°，BC=a ，BD是角平分线，点M、N分别是线段BD、BC上的动点， 求 (CM+M N)^2的最小

求 (CM+M N)^2的最小，就是要求CM+MN的最小值。
作CE垂直AB于E，交AD于M，取BN=BE。这时的点M，N即为使CM+MN最小时的位置。
首先，BD是角平分线，取N关于BD的对称点N'，MN+CM=MN'+CM。
只有当N'，M，C在一条直线上时，才能使MN+CM=CN'比较短（两点间线段最短）。
再根据垂线段最短，则要CN‘垂直AB，这时CN'才会最短，所以才有开头的作法。
因为，∠ABC=45°，CE（CN'）垂直AB，所以，三角形BCE是等腰直角三角形，
BC=a，所以，CE=a根号2/2，即CM+MN的最小值是a根号2/2，
所以，(CM+M N)^2的最小值是1/2a^2。

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