设f(x)=tx^2+2(t^2)x+t-1,(t＞0).求f(x)的最小值h(t)；若h(t)<-2t+m,对t∈(0,2)恒成立，求实数m的值

详细过程，谢谢

F(x)=tx^2+2t^2x+t-1=t(x^2+2tx+t^2)-t^3+t-1=t(x+t)^2-t^3+t-1
因为 t>0
所以当x=-t 时f(x)最小值h(t)=-t^3+t-1
h(t)=-t^3+t-1<-2t+m
g(t)=-t^3+3t-1
设0<=t1<t2<=2
g(t2)-g(t1)=-(t2)^3+3(t2)-1+(t1)^3-3(t1)+1=(t1)^3-(t2)^3+3(t2)-3(t1)
=(t2-t1)[(t2)^2+(t2)(t1)+(t1)^2]+3(t2-t1)
=(t2-t1)[(t2)^2+(t2)(t1)+(t1)^2+3]
因为[(t2)^2+(t2)(t1)+(t1)^2+3]>0,t2-t1>0
所以g(t2)-g(t1)>0
即g(t)在[0，2]上为单调递增函数
所以当t=2时有最大值g(t)=-3
故m>-3

采纳下哈  谢谢

g(t2)-g(t1)不一定大于零！ 我们可以利用导数解答：h(t)=-t^3+t-1<-2t+m 令g(t)=-t^3+3t-1，则g'(t)=-3t^2+3 (0<t<2) 当0<t<1时，g'(t)>0,当1<t<2时，g'(t)<0,所以g(t)=-t^3+3t-1在0<t<1上时增函数，在1<t<2时减函数，所以所以当t=1时有最大值g(1)=1