巴切特猜想是什么？

巴切特猜想是什么？

华林 (Waring) 问题 (1770) 1621 年，法国数学家巴切特 \
　　（M.C.-G.Bachet，1581\[LongDash]1638） 出版了丢番图 (Diophantus） 《算术》 \
　　的拉丁文与希腊文对照本。他在其中添加了这样一个命题：
　　"从 4 开始的任何非平方数，可以分解为两个、三个或四个平方数的和。" 大约在1636年，费尔马 （Fermat） \
　　曾说他已经证明了上述命题，但他从未发表其证明。18 \
　　世纪，欧拉在40年以上的时间里一直试图证明它，并作出了一部分结果，但终未获得最后成功。1770 年，拉格朗日 \
　　(J.L.Lagrange，1736\[LongDash]1813，法) 在柏林的 《论文集》 上发表了 \
　　"一个算术定理的证明"，基于欧拉的富有启发性的思想，第一次完成了证明。同年，英国数学家华林 (E.Waring，1734\
　　\[LongDash]1798） 在他的 《代数沉思录》 中提出了更进一步的猜想：每一正整数，或者是一个平方数，或者是至多 4 \
　　个平方数之和；每一正整数，或者是一个立方数，或者是至多 9 \
　　个立方数之和；每一正整数，或者是一个四次方数，或者是至多19个四次方数之和；等等。并进一步猜测：一般地，每一整数可以表示成至多 r个 \
　　k次幂之和，其中 r依赖于 k.即：对于任意
　　整数 k >= 2，存在一个正整数 r＝r (k)，使得任意正整数 N可以表示为 N＝ x1k＋x2k
　　＋„＋xrk
　　(xi >= 0)。1909 年，希尔伯特证明了最后的一般性结论。但是，对于每一具体的 k，确定 r (k) \
　　的最小值的问题仍是十分困难的。这一问题一般地是对于充分大的自然数 N讨论的。