数学问题，有关函数值

下面这个函数值

为什么呀？要计算过程！

1、先做换元令√x=u,x=u²，dx=2udu

原积分化为∫[-∞,+∞]exp(-u²)du,

注意到积分与积分变量无关，仍可写为∫[-∞,+∞]exp(-x²)dx,

(∫[-∞,+∞]exp(-x²)dx)(∫[-∞,+∞]exp(-y²)dy)=∫∫exp(-x²-y²)dxdy（积分区域是全平面）

利用极坐标计算得2π×∫[0,+∞]rexp(-r²)dr=2π×{∫[0,+∞]exp(-r²)d(r²)}/2=π

所以：公式成立。

这是高等数学的重要的Gamma函数

由于符号不好打，用F代替那个,小f代替积分号

有F(s)=fx^(s-1)e^(-x)dx(上限：正无穷大，下限：0)

作变量代换x=t^2,那么

F(s)=2ft^(2s-1)e^(-t^2)dt(上限：正无穷大，下限：0)

令s=1/2有F(1/2)=2fe^(-t^2)dt(上限：正无穷大，下限：0)

下面来证明fe^(-t^2)dt=(√ π)/2(上限：正无穷大，下限：0)[注；这个其实是泊松积分，有兴趣去看看]

证：令I=fe^(-t^2)dt(上限：正无穷大，下限：负无穷大)

I^2=(fe^(-t^2)dt)*(fe^(-t^2)dt)(上限：正无穷大，下限：负无穷大) =(fe^(-x^2)dx)*(fe^(-y^2)dy)(上限：正无穷大，下限：负无穷大) 将上式化成在极坐标下的积分， 原式=ffe^(-x^2-y^2)dxdy)(上限：正无穷大，下限：负无穷大) =f2π,0 dtfe^(-r^2)rdr(上限：0，下限：负无穷大) =2π*1/2=π 推出I=fe^(-x^2) dx = π^(1/2) (上限：正无穷大，下限：负无穷大)

于是fe^(-x^2) dx = π^(1/2) /2=(√ π)/2(上限：正无穷大，下限：0)

证毕！！