求幂级数的和
答案:1 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-11-21 03:25
- 提问者网友：杀生予夺
- 2021-11-20 22:13
求幂级数的和
最佳答案
- 五星知识达人网友：等灯
- 2021-11-20 23:32
解：设S(x)=∑[x^(2n-1)]/(2n-1)。
两边对x求导、在丨x丨<1时，有S'(x)=∑x^(2n-2)=1/(1-x²)。
∴S(x)=∫(0,x)dx/(1-x²)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中丨x丨<1。
∴xS(x)=∑[x^(2n)]/(2n-1)），令x=1/√2，∴(1/√2)S(1/√2)=∑1/[(2n-1)2^n]。
∴∑1/[(2n-1)2^n]=(1/√2)S(1/√2)=(1/√2)ln(1+√2)。
供参考。
两边对x求导、在丨x丨<1时，有S'(x)=∑x^(2n-2)=1/(1-x²)。
∴S(x)=∫(0,x)dx/(1-x²)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中丨x丨<1。
∴xS(x)=∑[x^(2n)]/(2n-1)），令x=1/√2，∴(1/√2)S(1/√2)=∑1/[(2n-1)2^n]。
∴∑1/[(2n-1)2^n]=(1/√2)S(1/√2)=(1/√2)ln(1+√2)。
供参考。
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