求16题第一题答案 用柯西收敛准则

求16题第一题答案 用柯西收敛准则

证明：
根据题意：
x(n) =a(0)+a(1)q+a(2)q²+...+a(n)q^n
对于∀ε>0，取n，p∈N，则：
|x(n+p)-x(n)|
=|a(n+1)q^(n+1)+a(n+2)q^(n+2)+a(n+3)q^(n+3)+....+a(n+q)q^(n+q)|
≤|a(n+1)q^(n+1)|+|a(n+2)q^(n+2)|+|a(n+3)q^(n+3)|+....+|a(n+q)q^(n+q)|
≤M|q^(n+1)|+M|q^(n+2)|+M|q^(n+3)|+....+M|q^(n+q)|
=M·|q^(n+1)|·(1-|q|^p)/(1-|q|)
=M·[q^(n+1)]·(1-q^p)/(1-q)
又∵0∴
|x(n+p)-x(n)|
≤M·[q^(n+1)]·(1-q^p)/(1-q)
即：n>log(q) [ε(1-q)/M] - 1
当取N=[log(q) [ε(1-q)/M] - 1]时，对于∀ε>0，下式：
|x(n+p)-x(n)| < ε恒成立！
因此：
数列{x(n)}收敛！