已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证

已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证

设|向量BC|＝a,|向量CA|＝b,|向量AB|＝c,则有：a＋b＋c＝6,b^2＝ac∴a＋c＝6－b,ac＝b^2从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根由韦达定理得：(6－b)^2－4b^2≥036－12b＋b^2－4b^2≥0b^2＋4b－12≤0(b＋6)(b－2)≤0由于b＞0,故b≤2另一方面,|a－c|＜b∴(a－c)^2＜b^2(a＋c)^2－4ac＜b^2(6－b)^2－4b^2＜b^2b^2＋3b－9＞0由b＞0知：b＞(－3＋3√5)/2∴(－3＋3√5)/2＜b≤2而向量BA·向量BC＝|向量BA|·|向量BC|·cosB＝ac·(a^2＋c^2－b^2)/(2ac)＝(a^2＋c^2－b^2)/2＝[(a＋c)^2－2ac－b^2]/2＝[(6－b)^2－3b^2]/2＝－(b＋3)^2＋27由(－3＋3√5)/2＜b≤2得：(3＋3√5)/2＜b＋3≤5(27＋9√5)/2＜(b＋3)^2≤25－(27＋9√5)/2＞－(b＋3)^2≥－25－(27＋9√5)/2＋27＞－(b＋3)^2＋27≥－25＋27即：(27－9√5)/2＞－(b＋3)^2＋27≥2所求的向量BA·向量BC的取值范围是：[2,(27－9√5)/2)======以下答案可供参考======供参考答案1:设|向量BC|＝a，|向量CA|＝b，|向量AB|＝c，则有：a＋b＋c＝6，b^2＝ac∴a＋c＝6－b，ac＝b^2从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根由韦达定理得：(6－b)^2－4b^2≥036－12b＋b^2－4b^2≥0b^2＋4b－12≤0(b＋6)(b－2)≤0由于b＞0，故b≤2另一方面，|a－c|＜b∴(a－c)^2＜b^2(a＋c)^2－4ac＜b^2(6－b)^2－4b^2＜b^2b^2＋3b－9＞0由b＞0知：b＞(－3＋3√5)/2∴(－3＋3√5)/2＜b≤2而向量BA·向量BC＝|向量BA|·|向量BC|·cosB＝ac·(a^2＋c^2－b^2)/(2ac)＝(a^2＋c^2－b^2)/2＝[(a＋c)^2－2ac－b^2]/2＝[(6－b)^2－3b^2]/2＝－(b＋3)^2＋27由(－3＋3√5)/2＜b≤2得：(3＋3√5)/2＜b＋3≤5(27＋9√5)/2＜(b＋3)^2≤25－(27＋9√5)/2＞－(b＋3)^2≥－25－(27＋9√5)/2＋27＞－(b＋3)^2＋27≥－25＋27即：(27－9√5)/2＞－(b＋3)^2＋27≥2所求的向量BA·向量BC的取值范围是：[2，(27－9√5)/2)

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