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圆的内接四边形对角线的乘积等于对边乘积之和请证明

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解决时间 2021-02-04 13:31
圆的内接四边形对角线的乘积等于对边乘积之和请证明
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设四边形ABCD内接于⊙O,AC、BD分别是对角线.在AC上取一点E连结BE,且使∠ABE=∠DBC,易得△ABE∽△DBC∴AE/AB=CD/BD,∴AE×BD=AB×CD……(1)又由△ABE∽△DBC得∠AEB=∠BCD而∠AEB+∠BEC=180°,∠BCD+∠BAD=180°∴∠BEC=∠BAD又∵∠BCE=∠BAD∴△CEB∽△DAB∴CE/BC=AD/BD∴CE×BD=BC×AD……(2)(1)+(2)得AE×BD+CE×BD=AB×CD+BC×ADBD(AE+CE)=AB×CD+BC×AD即BD×AC=AB×CD+BC×AD说明:本题在分析时,首先想到,欲证式的左边是一个积,右边是两个积的和,需将左边变成两个积的和,所以把AC分成两条线段;结合图形,为获得相似三角形,就作∠ABE=∠DBC使问题得证.
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