已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5.

已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5.
令fx=a1x+a2x^2+...+anx^n,求函数fx在点x=1处的导数

由S(n+1)=2S(n)+n+5

得S(n+1)+(n+1)+6=2[S(n)+n+6]

令b(n)=S(n)+n+6，则b(n+1)=S(n+1)+(n+1)+6

且b(n+1)=2b(n)

从而得b(n)=2^(n-1)b(1)

而b(1)=S(1)+1+6=a(1)+7=5+7=12

所以b(n)=(2^n)*6

即S(n)+n+6=(2^n)*6

得S(n)=(2^n)*6-n-6

可得

a(n)=S(n)-S(n-1)=(2^n)*6-n-6-{[2^(n-1)]*6-(n-1)-6}=(2^n)*3-1 (n≥2)

而a(1)=5满足上式，所以数列{a(n)}的通项公式为：

a(n)=(2^n)*3-1

由f(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n

则f‘(x)=a(1)+2a(2)x+……+na(n)x^(n-1)

从而得f‘(1)=a(1)+2a(2)+……+na(n)

将a(n)=(2^n)*3-1代入上式得

f'(1)=(2^1)*3-1+2[(2^2)*3-1]+……+n[(2^n)*3-1]

=3[2^1+2(2^2)+……+n(2^n)]-(1+2+……+n)

=3T(n)-n(n+1)/2

其中T(n)=2^1+2*(2^2)+……+n(2^n)

由2T(n)=2^2+2(2^3)+……+n*2^(n+1)

用上式减下式，可得

-T(n)=2^1+2^2+……+2^(n-1)-n*2^(n+1)

化简得T(n)=n*2^(n+1)-(2^n-2)

带入到f'(1)中得到：

f'(1)=3[n*2^(n+1)-(2^n-2)]-n(n+1)/2=3(2n-1)*2^n-n(n+1)/2+6

S(n+1)=2Sn+n+5. S(n+1)+( n+1)+ 6=2(S(n+1)=+n+6).

2(Sn+n+6).成等比，可以得Sn+n+6，用S(n+1)- Sn可以得an

f'(1) = a1+2a2+...+nan,用错位相减就可以了

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