已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）.

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）. （1）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等边三角形，求b的值

答：

a=1，y=ax²+bx+c=x²+bx+c经过点（1,2）：
1+b+c=2
所以：b+c=1，c=1-b
y=x²+bx+1-b
y=(x+b/2)²+1-b-b²/4
抛物线顶点A（-b/2，1-b-b²/4），与x轴交点为B(x1,0）和C（x2,0）
根据韦达定理有：
x1+x2=-b
x1*x2=1-b
所以：
(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=b^2-4(1-b)
=b^2+4b-4
所以：BC^2=b^2+4b-4

因为：三角形ABC是等边三角形
所以：AB=AC=BC
因为：点A到BC的高即为点A的纵坐标的绝对值
所以：|1-b-b²/4| =(√3/2)*BC
所以：(b²+4b-4)/4=(√3/2)*√(b^2+4b-4)>0
所以：√(b^2+4b-4)=2√3
所以：b^2+4b-4=12
所以：b^2+4b+4=20
解得：b=-2-2√5或者b=-2+2√5

解：⑴由题意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1 抛物线顶点为a（－b2，c－b24） 设b（x1，0），c（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0 ∴|bc|＝| x1－x2|＝| x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4 x1x2＝b2－4c ∵△abc为等边三角形，∴b24 －c＝ 32b2－4c 即b2－4c＝23•b2－4c，∵b2－4c＞0，∴b2－4c＝23 ∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±25 所求b值为－2±25 ⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾. ∴a＞0． ∵b＋c＝2－a，bc＝4a ∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋4a＝0的两实根． ∴△＝（2－a）2－4×4a≥0， ∴a3－4a2＋4a－16≥0， 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4. ∵abc＞0，∴a、b、c为全大于0或一正二负． ①若a、b、c均大于0，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾； ②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0, 则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2， ∵ a≥4，故2a－2≥6 当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6．