两个求和公式证明上面两个求公式 .第一个的结果是S＝2 第二个的结果是S=4/3

两个求和公式证明

上面两个求公式 .第一个的结果是S＝2 第二个的结果是S=4/3

1、Sn= 1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+.+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n (1)
2Sn=2+2/2+3/2^2+4/2^3+5/2^4+.+n/2^(n-1) (2)
(2)-(1),得：
Sn=2+1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+.+1/2^(n-1)-n/2^n
从第二项起到倒数第二项是等比数列,所以
Sn=2+1/2(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-n/2^n
=2+1-1/2^(n-1)-n/2^n
=3-1/2^(n-1)-n/2^n)
当n趋向无穷大时,Sn=3
2、Sn=1+1/4+1/4^2+.+1/4^n 等比数列
=(1-1/4^n)/(1-1/4)
=4/3（1-1/4^n）
当n趋向无穷大时,Sn=4/3
再问： 第1题的答案是等于2呀。我是这样解的。得到你求的1和2步骤过后到下面的求等比数列的时候我是这样的。不知道对不对。
再答： 你的第二个S有错，按你的计算，首项为 1，而你在用 1/2，所以错。 如果使用 1/2，计算的结果还是 3，所以原题目的答案是错的。
再问： 首项是1 第二项是1/2 第三项也是1/2 所以我是从第二项作为比值然后在后面的(1/2)^n-1因为是从第二项开始所以是n-1。我是这么想的。这本书是一本非常经典与权威的数据结构教材书。而且出到了第二版。我对照了中文与英文版结果都是2。我想如果是第2版了。这种比较显而异见的错误对于这种经典教材来说应该早就更正了。。不知道我这么理解对不对。
再答： 先不要看他们的对不对，要看自己的解法对不对 另一种解法： Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+......+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n (1) 1/2Sn= 1/2^2+2/2^3+3/2^4+.....+(n-2)/2^(n-1)+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) (2) (1)-(2)，得： 1/2Sn=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+.....+1/2^n-n/2^(n+1) 从等式右边到倒数第二项是等比数列，所以 1/2Sn=1/2(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-n/2^n =1-1/2^(n-1)-n/2^n 当n趋向无穷大时，1/2^(n-1)-->0，n/2^n-->0 所以 1/2Sn=1，Sn=2 看来第一种解法中有错，你仔细查查吧
再问： 第一种方法中的第二步2*1/2写成了2。看来问题是在这里谢谢你的解答。。两个题我都明白了，
再答： 你还可以，已经看出问题了！有救，第一种解法补充： Sn= 1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+......+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n (1) 2Sn=2/2+2/2+3/2^2+4/2^3+5/2^4+.....+n/2^(n-1) (2) 这儿写错了 (2)-(1)，得： Sn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+.....+1/2^(n-1)-n/2^n 从第二项起到倒数第二项是等比数列，所以 Sn=1+1/2(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-n/2^n =1+1-1/2^(n-1)-n/2^n =2-1/2^(n-1)-n/2^n) 当n趋向无穷大时，Sn=2，解毕