证明(1/n)^n+(2/n)^n+……+(n-1/n)^n > (n-1)/2(n+1) 对任意n正整数成立

证明(1/n)^n+(2/n)^n+……+(n-1/n)^n > (n-1)/2(n+1) 对任意n正整数成立

首先证明: 对正整数n与a, b > 0, a ≠ b, 有不等式(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) ≤ (a^n+b^n)·(n+1)/2.
实际上, 2(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) = 2(a^n+a^(n-1)b+...+ab^(n-1)+b^n)
= (a^n+b^n)+(a^(n-1)b+ab^(n-1))+...+(ab^(n-1)+a^(n-1)b)+(b^n+a^n)
≤ (n+1)(a^n+b^n)   (对i = 0, 1,..., n, 不难证明: a^i·b^(n-i)+a^(n-i)·b^i ≤ a^n+b^n),
即得(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) ≤ (a^n+b^n)·(n+1)/2.


在其中取a = k, b = k-1, 得k^n+(k-1)^n ≥ 2(k^(n+1)-(k-1)^(n+1))/(n+1).
对k = 1, 2,..., n求和得n^n+2(n-1)^n+2(n-2)^n+...+2·2^n+2·1^n+0^n ≥ 2(n^(n+1)-0^(n+1))/(n+1)
即2(1^n+2^n+...+(n-1)^n) ≥ 2·n^(n+1)/(n+1)-n^n = n^n·(2n)/(n+1)-n^n = n^n·(n-1)/(n+1).
也即(1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n ≥ (n-1)/(2(n+1)).
且易见n > 1时等号不能成立.


学过定积分的话, 这个不等式可以有几何解释:
考虑y = x^n下在区间[0,1]上的面积, 不难算得为1/(n+1).
1/n·((1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n)为曲线下的n-1个矩形(下图红色矩形)的面积和.
而n个三角形(下图绿色三角形)的底边长均为1/n, 高的和为1, 因此面积和为1/(2n).
由曲线的凸性, 有面积不等式: 矩形面积和+三角形面积和 > 曲线下面积 = 1/(n+1).
变形得(1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n > (n-1)/(2(n+1)).



上图是n = 4的情形, 其中(1/4,1/256)那个点太靠近x轴了, 所以第一个三角形和矩形都难以分辨.