an+1=an2+an,若a1=1/2,求证1<1/1+a1+1/1+a2+……+1/1+an<2

an2是an的平方，n大于等于2

书写规范一点。。。题目应该是这样吧：
a[n+1]=a[n]²+a[n],若a[1]=1/2,求证1＜1/(1+a[1])+1/(1+a[2])+……+1/(1+a[n])＜2
左边不成立，当n=1时就不成立，你题目看错了吧。下面证右边。
显然a[n]＞0，a[n+1]=a[n](a[n]+1)，所以1/a[n+1]=1/[a[n](a[n]+1)]=1/a[n]-1/(a[n]+1)
所以1/(a[n]+1)=1/a[n]-1/a[n+1]
累和即得1/(1+a[1])+1/(1+a[2])+……+1/(1+a[n])=1/a[1]-1/a[n+1]＜1/a[1]=2
原不等式右边得证

题目出错了，不等号方向反了，而且没有规定n的取值。 证： 假设当n=k(k∈n，且k≥1)时，ak>0，则当n=k+1时，a(k+1)=ak²+ak=ak(ak+1) ak>0 ak +1>0 a(k+1)>0 k为任意正整数，因此an>0，即数列各项均>0 a(n+1)=an²+an a(n+1)/an=an+1>1 a(n+1)>an，数列为递增数列。 a2=a1²+a1=1+1=2 n≥2时，an≥2 1/an≤1/2 a(n+1)=an²+an 1/a(n+1)=1/[an²+an]=1/[an(an +1)]=1/an -1/(an +1) 1/(an +1)=1/an -1/a(n+1) 1/(a1+1)+1/(a2+1)+...+1/(an +1) =1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/an -1/a(n+1) =1/a1 -1/a(n+1) =1 -1/a(n+1) n≥1，n+1≥2 a(n+1)≥2 0<1/a(n+1)≤1/2 1/2≤1-1/a(n+1)<1 1/2≤1/(a1+1)+1/(a2+1)+...+1/(an +1) <1 其实很容易看出题目错了，容易得到数列各项均为正。n=1时，1/(a1+1)=1/(1+1)=1/2，光第一项就不小于1/2了。