已知向量AB为非零向量且丨A+B丨=丨A-B丨,若丨a丨=2,丨b丨=1,求向量a-2b与向量b的夹角

已知向量AB为非零向量且丨A+B丨=丨A-B丨,若丨a丨=2,丨b丨=1,求向量a-2b与向量b的夹角

题中的“已知向量AB为非零向量且丨A+B丨=丨A-B丨”应为“已知向量a、b为非零向量且丨a+b丨=丨a-b丨” 由丨a+b丨=丨a-b丨得,丨a+b丨^2=丨a-b丨^2,即(a+b)^2=(a-b)^2,所以ab=-ab,于是ab=0,又因a、b均为非零向量,且ab=|a|*|b|*cosθ=0,(θ为两向量的夹角),所以这两个向量相互垂直.依题意可分别以a、b的方向为x、y轴正方向建立平面直角坐标系,则a=(2,0),b=(0,1),2b=(0,2),a-2b=(2,-2),则(a-2b)*b=|a-2b|*|b|*cos(θ'),(θ'为向量a-2b与向量b的夹角),则cos(θ')=(a-2b)*b/(|a-2b|*|b|)=(0*2+1*(-2))/(2√2*1)=-√2/2,所以θ'=135°即向量a-2b与向量b的夹角为135°.