高等数学难题

1.求椭球面2x的平方+3y的平方+z的平方=9 的平行于平面2x-3y+2Z+1=0 的切平面方程。

2.求极限：
lim(X->0)[(tanX-sinX)/x^3]
lim(X->3.14/2)[(sinX)^tanX]

1.解：设切点为 _（x,y,z），则 ，2x的平方+3y的平方+z的平方=9

    过切点的法向量为：（4x，6y，2z）平行于（2，-3，2）

    得：（4x）除以2等于（6y）除以（-3）等于（2z）除以2等于t

    所以x=0.5t，y=-0.5t,z=t,代入2x的平方+3y的平方+z的平方=9 ，求得t= _正负2

    切点为（1，-1，2） 或 _{（-1，1，2）}，

    _所以， 过切点的法向量为：（2，-3，2）

    故切平面方程为：2x-3y+2z=9 或 _2x-3y+2z=-9

2.解：(1)、tanx－sinx＝tanx(1－cosx)，x→0时，tanx等价于x，1－cosx等价于1/2×x^2，所以
lim(x→0) (tanx-sinx)/x^3 ＝lim(x→0) (1/2×x^3)/x^3 ＝1/2
   (2)、ln[(sinx)^tanx]＝tanx×ln(sinx)＝sinx×1/cosx×ln(sinx)
    lim(x→π/2) ln[(sinx)^tanx]＝lim(x→π/2) sinx×1/cosx×ln(sinx)＝lim(x→π/2) ln(sinx)/cosx＝lim(x→π/2)    (1/sinx×cosx)/(-sinx)＝0
    所以，lim(x→π/2) (sinx)^tanx＝e^0＝1