(2n-1)!!/(2n)!!＞1/√4n怎么证明
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解决时间 2021-11-15 04:14
- 提问者网友：蓝莓格格巫
- 2021-11-14 10:21
(2n-1)!!/(2n)!!＞1/√4n怎么证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：孤老序
- 2021-11-14 10:54
用归纳法。
n=1时左=1/2，右=1/2，两边相等。
n=2时左=3/8，右=1/√8，不等式成立。
设n>=k>=2时(2k-1)!!/(2k)!!>1/√(4k),
那么(2k+1)!!/(2k+2)!!>1/√(4k)*(2k+1)/(2k+2),①
1/√(4k)*(2k+1)/(2k+2)>1/√[4(k+1),
<==>(2k+1)√(k+1)>(2k+2)√k,
平方得(4k^2+4k+1)(k+1)>k(4k^2+8k+4),
<==>k+1>0,
上式成立，故①成立，结论成立。
n=1时左=1/2，右=1/2，两边相等。
n=2时左=3/8，右=1/√8，不等式成立。
设n>=k>=2时(2k-1)!!/(2k)!!>1/√(4k),
那么(2k+1)!!/(2k+2)!!>1/√(4k)*(2k+1)/(2k+2),①
1/√(4k)*(2k+1)/(2k+2)>1/√[4(k+1),
<==>(2k+1)√(k+1)>(2k+2)√k,
平方得(4k^2+4k+1)(k+1)>k(4k^2+8k+4),
<==>k+1>0,
上式成立，故①成立，结论成立。
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