如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1=60°，AD=4,点P是AD1上的动点（1）试判断不论点

如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1=60°，AD=4,点P是AD1上的动点（1）试判断不论点

(1)因为线段A1B1垂直于面AA1D1， 又因为线段A1B1包含于面B1PA1，所以P无论在线段AD1的哪个位置，都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1
（2）由图观察知，直线AA1与B1B平行，所以只需求角PB1B，又在三角形AA1D1中可求出边AA1长为4倍根号3，所以BB1=AA1=4倍根号3，又在直角三角形B1A1P（由第一问得）中A1P=A1B1=4，所以求的PB1=4倍根号2，又因为P为中点，所以求的PB=PB1=4倍根号2，再由余弦定理求得cos∠BB1P=4分之根号6 。
（3）PB1与平面AA1D1所成角为∠A1PB1，tan∠A1PB1=A1B1/A1P，要求其最大值，即求边A1P的最小值，当A1P垂直于AD1时A1P取最小值，由射影定理（相似三角形）可求得A1P=2倍根号3，所以tan∠A1PB1=A1B1/A1P=4/（2倍根号三）=3分之2倍根号3 。