已知三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,且PA=PB=PC=a,求此三棱锥的体积

已知三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,且PA=PB=PC=a,求此三棱锥的体积

你可以想象一下正方体的一角，P是正方形的一顶点，有这一顶点引出的三条相互垂直的变PA,PB,PC（即正方形三条共顶点的棱），用三棱锥的体积公式就很好求啊，v=h·s·1/3=a·(1/2a·a)·1/3=1/6·a^3
不知道计算结果对不对，但思路绝对对啊

不妨设a>b,a>c,

则可以先构造一个正四面体p-amn,其中，b在pm上，c在pn上；

可先求出正四面体的体积,

再根据

v(pamn)/v(pabc)=pa/pa*pm/pb*pn/pc求出pabc的体积

法一,像一楼的，因为PA,PB,PC两两相互垂直且相等，故AP垂直于平面PBC,所以V=1/3*PA*S,即，V=1/3*a*(1/2*a² ). 法一,因为，PA,PB,PC两两相互垂直且相等，故AB=BC=AC=√2a,设P在三角形ABC内的投影为D 因为PA=PB=PC故D点为三角形ABC的中线的交点.做三角形ABC的中线AE，则AD=(2/3)AE.又AE=（√3/2） AB=（√6/2）a ,故AD=（√6/3）a.因为三角形PAD为直角三角形，故PD=（√3/3）a 。又V=1/3*S*h ,故V=1/3*√3/2*（√3/2*a² )*（√3/3）a=(1/6)a³