对一切实数x，不等式ax2+（a-6）x+2＞0恒成立，求a的值

答案:2 悬赏:20 手机版

解决时间 2021-02-24 18:23

提问者网友：niaiwoma
2021-02-23 18:37

最佳答案

五星知识达人网友：想偏头吻你
2021-02-23 18:43

此题一般有两种做法：

（1）按恒成立问题的通用方法，将a分离出来，然后转化为最值问题。比如此题可以转化为a(x²+x)>6x-2恒成立，即（其中f(x)=(6x-2)/(x²+x)）
当x>0或x<-1时a>f(x)恒成立（注意x<-1时，f(x)<0，而f(1)>0，因此只需考虑当x>0时a>f(x)恒成立），且当-1注意f'(x)=-2(x-1)(3x+1)/(x²+x)²，因此f在(-∞,-1),(-1,-1/3)上递减，在(-1/3,0),(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，因此当x>0时max f(x)=f(1)=2，因此当x>0时a>f(x)恒成立即等价于a>2。而当-1综上，2
（2）由于此题的代数式恰好具有二次函数的形状，因此可以利用二次函数的性质来做。
如果a=0，-6x+2>0恒成立，显然不满足题意。因此a≠0。
因此ax²+(a-6)x+2是关于x的二次函数，要想其大于0恒成立，结合二次函数的图像必有：
a>0且Δ<0（与x轴没有交点）
即
a>0且(a-6)²-8a<0。
解得
2

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1楼网友：不如潦草
2021-02-23 19:02

由于不等式对一切x恒成立，
故a应该满足 a＞0△＝(a−6)2−4a•2＜0
即 a＞0a2−20a+36＜0
所以2＜a＜18

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