一个初中数学竞赛问题

求出满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数解

若x=1，则y^2=3y+1。无解。同理若y=1则无解，所以x,y>=2
原方程变成(x-y)^2+(x-2)(y-2)=4
由于(x-2)(y-2)>=0，所以|x-y|只能取0，1，2
若|x-y|=0,则(x-2)(y-2)=4。解得x=y=4（x=y=0舍去）
若|x-y|=1,则(x-2)(y-2)=3。无解
若|x-y|=2,则(x-2)(y-2)=0。解得x=2,y=4或x=4,y=2
综上，共有3对

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x=1,y=1或x=1,y=2或x=2，y=1.

原方程配方得到（很容易展开验证一下） （1-x）(y-1)=(x-y)^2-1 令x-1=a,y-1=b 则原式化为 -ab=(a-b)^2-1展开即得 a^2-ab+b^2=1 两边乘2即2a^2-2ab-2b^2=2配方 有 (a-b)^2+a^2+b^2=2；即三个平方数之和为2 必有两个为1，1个为零，依次讨论如下： 若a-b=0，则a=b=1或-1 若a=0，则b=1或-1; 若b=0，则a=1或-1 再解出x,y 共6组解