求有关正三角形和正四面体的一些常用规律或推论

余弦定理：

a=b^2+c^2-bcsinA （余下类推）

正四面体：

正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。

正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。

正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。

正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。

高：√6a/3。中心把高分为1:2两部分。

　 表面积：√3a^2

　体积：√2a^3/12

　外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。

　 内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。
　 两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关。
两邻面夹角：2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 111，与两条高夹角在数值上互补。

　　侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3)

　正四面体对棱垂直的性质

　　1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。

　　2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。

　　3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。

　　正四面体与球的关系：

　　球与正四面体的顶点接：R=√6/4a

　　球与正四面体的面接：R=√6/12a

　　球与正四面体棱接：R=√2/4a