已知函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[－1,2]上的最大值是4，求a的值。

已知函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[－1,2]上的最大值是4，求a的值。

y'=2x+2a

令y'=0

x=-a

5+4a>2-2a

a>-0.5

当a>-0.5时

5+4a=4

a=-0.25

当a<-0.5时

2-2a=4

a=-1

二次函数y=x^2+2ax+1的图象是开口向上,对称轴为x=-a,最低点为(-a,1-a^2)的抛物线

函数在(-∞,-a]上单调递减,在[-a,+∞)上单调递增

则函数f(x)=x^2+2ax+1在闭区间[-1,2]上的最大值在端点处取得

闭区间的中点是1/2

当-a=1/2,即a=-1/2时,f(-1)=(-1)^2+2(-1/2)(-1)+1=3,f(2)=4+2*(-1/2)*2+1=3

当-a<1/2,即a>-1/2时,f(-1)<f(2)

f(2)=4+4a+1

∵f(2)=4

求出a=-1/4

当-a>1/2,即a<-1/2时,f(2)<f(-1)

f(-1)=1-2a+1

∵f(2)=4

求出a=-1

所以,题目所求a的值是-1或-1/4

方程式是可以写成f(x)=(x+a)^2+1-a^2

这个方程的图像坐标开口向上，所以最大值就是在-1或者2处，

把-1和2分别带到方程中得到a分别为-1和-1/4.

f(x)=x²+2ax+1=(x+a)²+1-a²,

当对称轴x=-a∈[-1,2]时,-2≤a≤1,

-2≤a≤-1/2,f(-1)=2-2a≥f(2)=5+4a,2-2a=4,a=-1;

-1/2<a≤1,f(-1)=2-2a<f(2)=5+4a=4,a=-1/4;

a<-2,f(-1)=2-2a>f(2)=5+4a,2-2a=4,a=-1,不可能;

a>1,f(-1)=2-2a<f(2)=5+4a=4,a=-1/4,不可能;

∴a=-1,-1/4.

先把函数看成关于a的一次函数，即f(x)=2ax+(x^2+1)，显然a不=0。当a<0时，f(-1)=4即-2a+2=4解得a=-1，当a>0时，f(2)=4即4a+5=4，解得a=-1/4(小于零不能取) 综上所述：a=-1

函数的图形是抛物线，且开口向上。f(x)=(x+a)^2-a^2+1。

可知函数f(x)的对称轴为-a。

则当-a=<-1，即a>=1时，则x=2时，f(x)最大，有f(2)=4，即16+8a+1=4，得到a=-13/8<0。与前提矛盾。

则当-a>=2时，即a =<2时，有x=-1时，f(x)最大，有f(-1)=4=1-2a+1。得到a=-1。满足条件。

当-1<-a<2时，x=-1或x=2时，f(x)都有可能最大。但是根据f(-1)=4只能得到a=-1。f(2)=4得到a=-13/8<-1。

综上所述：a=-1。