设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1

（1）若λ=1,则（S（n+1）+λ）an=（Sn+1）a（n+1）两边除以ana（n+1）得 S（n+1）/a（n+1）+1/a（n+1）=Sn/an+1/an ∴Sn/an+1/an,是常数列.Sn/an+1/an=2 解得,Sn=2an-1,∴an=2^（n-1）（2）a1=1, n=1代入已知,得a2=1+λ n=2代入已知,得a3=（1+λ）² 由an是等差数列.∴2a2=a1+a3,得λ=0 而当λ=0时,S（n+1）/a（n+1）=Sn/an+1/an 可以用归纳法证明an=1. （I）当n=1时,a1=1满足题意 （II）假设an前k项为1,则由S（k+1）/a（k+1）=Sk/ak+1/ak,得 [ k+a（k+1）]/a（k+1）=k/1+1/1=k+1 所以a（k+1）=1,所以an前k+1项为1. 有归纳假设得,an=1 综上,当an为等差数列时,需λ=0, 当λ=0,an确实为等差数列,an=1所以,使数列an为等差数列的λ的值为0.

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