诱导公式

诱导公式

三角函数的诱导公式（六公式）
　　公式一：　
　　sin(-α) = -sinα
　　cos(-α) = cosα
　　tan (-α)=-tanα
　　公式二：
　　sin(π/2-α) = cosα
　　cos(π/2-α) = sinα
　　公式三：
　　sin(π/2+α) = cosα
　　cos(π/2+α) = -sinα
　　公式四：
　　sin(π-α) = sinα
　　cos(π-α) = -cosα
　　公式五：
　　sin(π+α) = -sinα
　　cos(π+α) = -cosα
　　公式六：
　　tanA= sinA/cosA
　　tan（π/2+α）=－cotα
　　tan（π/2－α）=cotα
　　tan（π－α）=－tanα
　　tan（π+α）=tanα
　　诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
, .
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有 –2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 ;
(2)顶点式 ;
(3)零点式 .
7.解连不等式 常有以下转化形式
.
8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若 ，则 ；
， ， .
(2)当a<0时，若 ，则 ，若 ，则 ， .
10.一元二次方程的实根分布
依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 .
设 ，则
（1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ；
（2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ；
（3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 的子区间 （形如 ， ， 不同）上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(3) 恒成立的充要条件是 或 .
12.真值表
p q 非p p或q p且q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 个
至多有（ ）个
小于 不小于 至多有 个
至少有（ ）个
对所有 ，
成立 存在某 ，
不成立
或
且
对任何 ，
不成立 存在某 ，
成立
且
或
14.四种命题的相互关系
原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若p则q　　　　　　　　　　　　　　　若q则p
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非p则非q　　　　互逆　　　　　　若非q则非p
15.充要条件
（1）充分条件：若 ，则 是 充分条件.
（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.
（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设 那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数.
17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶函数，则 .
20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.
21.若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 ,则函数 为周期为 的周期函数.
22．多项式函数 的奇偶性
多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数 的图象的对称性
(1)函数 的图象关于直线 对称
.
(2)函数 的图象关于直线 对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.
(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.
(3)函数 和 的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 ,而函数 是 的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 , .
(2)指数函数 , .
(3)对数函数 , .
(4)幂函数 , .
(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1） ，则 的周期T=a；
（2） ，
或 ，
或 ,
或 ,则 的周期T=2a；
(3) ，则 的周期T=3a；
(4) 且 ，则 的周期T=4a；
(5)
,则 的周期T=5a；
(6) ，则 的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1) （ ，且 ）.
(2) （ ，且 ）.
31．根式的性质
（1） .
（2）当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .
32．有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3) .
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
( ,且 , ,且 , ).
推论 ( ,且 , ,且 , , ).
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1) ;
(2) ;
(3) .
36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若 , , , ,则函数
(1)当 时,在 和 上 为增函数.
， (2)当 时,在 和 上 为减函数.
推论:设 ， ， ，且 ，则
（1） .
（2） .
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列 的前n项的和为 ).
40.等差数列的通项公式
；
其前n项和公式为

.
41.等比数列的通项公式
；
其前n项的和公式为

或 .
42.等比差数列 : 的通项公式为
；
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).
44．常见三角不等式
（1）若 ，则 .
(2) 若 ，则 .
(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
， = ， .
46.正弦、余弦的诱导公式
47.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
. .
50.三角函数的周期公式
函数 ，x∈R及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 ；函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 .
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面积定理
（1） （ 分别表示a、b、c边上的高）.
（2） .
(3) .
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1) a•b= b•a （交换律）;
(2)（ a）•b= （a•b）= a•b= a•（ b）;
(3)（a+b）•c= a •c +b•c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a= ,b= ，且b 0，则a b(b 0) .
53. a与b的数量积(或内积)
a•b=|a||b|cosθ．
61. a•b的几何意义
数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a= ,b= ，则a+b= .
(2)设a= ,b= ，则a-b= .
(3)设A ，B ,则 .
(4)设a= ，则 a= .
(5)设a= ,b= ，则a•b= .
63.两向量的夹角公式
(a= ,b= ).
64.平面两点间的距离公式
=
(A ，B ).
65.向量的平行与垂直
设a= ,b= ，且b 0，则
A||b b=λa .
a b(a 0) a•b=0 .
66.线段的定比分公式
设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则

（ ）.
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标是 .
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 .
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点 按向量a= 平移后得到点 .
(2) 函数 的图象 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 .
(3) 图象 按向量a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析式为 .
(4)曲线 : 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 .
(5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然为m= .
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则
（1） 为 的外心 .
（2） 为 的重心 .
（3） 为 的垂心 .
（4） 为 的内心 .
（5） 为 的 的旁心 .
71.常用不等式：
（1） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）柯西不等式

（5） .
72.极值定理
已知 都是正数，则有
（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .
推广 已知 ，则有
（1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；
当 最小时, 最小.
（2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；
当 最小时, 最大.
73.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
.
或 .
75.无理不等式
（1） .
（2） .
（3） .
76.指数不等式与对数不等式
(1)当 时,
;
.
(2)当 时,
;

77.斜率公式
（ 、 ）.
78.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )．
（2）斜截式 (b为直线 在y轴上的截距).
（3）两点式 ( )( 、 ( )).
(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若 ，
① ;
② .
(2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不为零,
① ；
② ；
80.夹角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直线 时，直线l1与l2的夹角是 .
81. 到 的角公式
(1) .
( ， , )
(2) .
( , , ).
直线 时，直线l1到l2的角是 .
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为 (除 )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线 中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线 平行的直线系方程是 ( )，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量．
83.点到直线的距离
(点 ,直线 ： ).
84. 或 所表示的平面区域
设直线 ，则 或 所表示的平面区域是：
若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域；当 与 异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域；当 与 异号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. 或 所表示的平面区域
设曲线 （ ），则
或 所表示的平面区域是：
所表示的平面区域上下两部分；
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 ( ＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).
87. 圆系方程
(1)过点 , 的圆系方程是

,其中 是直线 的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数．
(3) 过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系
点 与圆 的位置关系有三种
若 ，则
点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线 与圆 的位置关系有三种:
;
;
.
其中 .
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆 ．
①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为 ，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆 ．
①过圆上的 点的切线方程为 ;
②斜率为 的圆的切线方程为 .
92.椭圆 的参数方程是 .
93.椭圆 焦半径公式
， .
94．椭圆的的内外部
（1）点 在椭圆 的内部 .
（2）点 在椭圆 的外部 .
95. 椭圆的切线方程
(1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .
（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是
.
（3）椭圆 与直线 相切的条件是 .
96.双曲线 的焦半径公式
， .
97.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是
.
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
100. 抛物线 的焦半径公式
抛物线 焦半径 .
过焦点弦长 .
101.抛物线 上的动点可设为P 或 P ，其中 .
102.二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 .
103.抛物线的内外部
(1)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(2)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(3)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(4) 点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .
（2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）抛物线 与直线 相切的条件是 .
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是
( 为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时,表示椭圆; 当 时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
（弦端点A ，由方程 消去y得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .
（2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是
.
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方程
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.