用换元法求值域

1. y=2x+1+√(1-x) 2.y=2sinx的平方-3cosx-1 3.y=x+√(1-x的平方)

用换元法求值域
1. y=2x+1+√(1-x)  

解：设√(1-x)  =u≧0，则1-x=u²，x=1-u²；
故y=2(1-u²)+1+u=-2u²+u+3=-2(u²-u/2)+3=-2[(u-1/4)²-1/16]+3=-2(u-1/4)²+25/8≦25/8；
当u=1/4，即x=15/16时y获得最大值25/8；故值域为(-∞，25/8]；
2. y=2sin²x-3cosx-1
解：y=2(1-cos²x)-3cosx-1=-2cos²x-3cosx+1=-2[cos²x+(3/2)cosx]-1=-2[(cosx+3/4)²-9/16]-1
=-2(cosx+3/4)²+1/8≦1/8；当cosx=1时y获得最小值=-2(1+3/4)²+1/8=-48/8=-6
即该函数的值域为[-6，1/8]；
3. y=x+√(1-x²)
解：由1-x²≧0，得x²≦1，即定义域为：-1≦x≦1；
可令x=sinu，则y=sinu+cosu=(√2)sin(u+π/4)；故值域为[-√2，√2].

解析式是变化的，不变的是整个函数的本质； 所谓换元法，就是把不熟悉的函数解析式，变换成我们所学过的函数类型的方法来解决问题。 也就是在原来解析式不太容易看出来我们所学过的函数类型的情况下，或者是所求函数含有根式等不容易化简计算的情况，我们利用把某些部分整体看成一个元素来进行运算。 但是本质上函数的部分没有大的改变，但是外在形式上和原来不太一样； 如：y=x+√(1-x) 整个根式内是一个整体，那么我就可以把整个根式看成一个元素，方便和我们所学过的函数联系； 故：令t=√(1-x)≥0，则x=1-t^2 ∴y=1-t^2+t=-t^2+t+1，t≥0 就成了关于t的二次函数求值域了，因为是恒等变换（因为加了t的范围），所以关于t的二次函数值域等于原函数值域。